Презентация на тему «Число «Пи» и способы его вычисления на компьютере» 11 класс

Включить эффекты 1 из 16 Отключить эффекты Смотреть похожие

Рецензии

Добавить свою рецензию

Аннотация к презентации

Посмотреть презентацию на тему «Число «Пи» и способы его вычисления на компьютере» для 11 класса в режиме онлайн. Самый большой каталог качественных презентаций по информатике в рунете. Если не понравится материал, просто поставьте плохую оценку.

  • Формат pptx (powerpoint)
  • Количество слайдов 16
  • Аудитория
  • Слова
  • Конспект Отсутствует

Содержание

  • Презентация: Число «Пи» и способы его вычисления на компьютереСлайд 1

    Число «Пи» и способы его вычисления на компьютере

      Автор: Орехова Екатерина, ученица 11 класса, МКОУ Плесской СОШ, обучающаяся в объединении «Программирование» МКОУ ДОД ЦДЮТ Научный руководитель: Юдин Андрей Борисович, учитель математики МКОУ Плесской СОШ, педагог дополнительного образования МКОУ ДОД ЦДЮТ

  • Слайд 2

    Цель работы:

    Выяснить, каким способом можно составить алгоритмы для нахождения числа Пи с помощью компьютера и узнать, какой способ поможет более точно вычислить это число.

  • Слайд 3

    Задачи работы

    Ознакомиться с историей числа Пи Найти необходимые формулы для вычисления числа Пи Преобразовать найденные формулы в алгоритмы в системе программирования PascalABC Узнать, какой способ вычисления наиболее точный

  • Слайд 4

    Число Пи (греческая буква π) – это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Число Пи иррационально и бесконечно.

  • Слайд 5

    Формулы для нахождения числа пи

    Ряд Мадхавы Формула Джона Валлиса Формула Вильгельма Лейбница Формула Леонарда Эйлера Нахождение числа Пи с помощью рядов Формула Джона Мэчина Алгоритм Брента-Саламина

  • Слайд 6

    Ряд Мадхавы

    Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 15

  • Слайд 7

    Формула Джона Валлиса

    Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 7

  • Слайд 8

    Формула Вильгельма Лейбница

    Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 11

  • Слайд 9

    Формула Леонарда Эйлера

    Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 8

  • Слайд 10

    Нахождение числа Пи с помощью рядов

    Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 7

  • Слайд 11

    Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 4

  • Слайд 12

    Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 3

  • Слайд 13

    Формула Джона Мэчина

    Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 1

  • Слайд 14

    Алгоритм Брента-Саламина Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 15

  • Слайд 15

    Вывод

    Проанализировав решенные мною задачи, я выяснила, что наиболее точными способами нахождения числа Пи на компьютере являются: Ряд Мадхавы (15 знаков) Формула Лейбница (11 знаков) Алгоритм Брента-Саламина (15 знаков) Классические системы программирования, к которым относится Pascal, не пригодны для вычислений больших и очень маленьких чисел, поэтому, в приведенных мною примерах, я не достигла точности, описанной в литературе.

  • Слайд 16

    Заключение

    Благодаря данной работе: Я научилась составлять программы для вычисления числа Пи различными способами; из этих способов я выбрала наиболее точные Познакомилась с историей числа Пи Узнала основные способы нахождения числа Пи

image{«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/8/88/1964913-1.jpg/v4-460px-1964913-1.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/8/88/1964913-1.jpg/v4-728px-1964913-1.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 1 Убедитесь, что вы используете идеальный круг. Этот метод не работает с эллипсами, овалами и чем-либо иным, этот метод подходит только для идеальной окружности. Окружность определяется как совокупность всех точек на плоскости, которые лежат на одинаковом расстоянии от одной центральной точки. Крышка банки — идеальный предмет для этого метода. Если вы хотите сделать наиболее точные вычисления, используйте карандаш с очень тонким грифелем. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/6/65/1964913-2.jpg/v4-460px-1964913-2.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/6/65/1964913-2.jpg/v4-728px-1964913-2.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 2 Измерьте длину окружности настолько точно, насколько это возможно. Это нелегкая задача (вот почему Пи так важно).

  • Оберните нитку вокруг крышки как можно плотнее. Отметьте точку совпадения начала и конца, а затем измерьте длину нитки с помощью линейки.

{«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/7/79/1964913-3.jpg/v4-460px-1964913-3.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/7/79/1964913-3.jpg/v4-728px-1964913-3.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 3 Измерьте диаметр окружности. Диаметр — длина отрезка, проходящего через центр окружности и любые две точки, лежащие на окружности. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/4/47/Calculate-Pi-Step-4-Version-2.jpg/v4-460px-Calculate-Pi-Step-4-Version-2.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/4/47/Calculate-Pi-Step-4-Version-2.jpg/v4-728px-Calculate-Pi-Step-4-Version-2.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 4 Используйте формулу. Длина окружности вычисляется по формуле C= π*d = 2*π*r. Таким образом, Пи равно длине окружности, деленной на ее диаметр. Посчитайте Пи (с вашими значениями) на калькуляторе. Результат должен быть примерно равен 3,14.[3]XИсточник информации{«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/7/7f/Calculate-Pi-Step-5-Version-2.jpg/v4-460px-Calculate-Pi-Step-5-Version-2.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/7/7f/Calculate-Pi-Step-5-Version-2.jpg/v4-728px-Calculate-Pi-Step-5-Version-2.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 5 Чтобы уточнить расчеты, повторите эту процедуру с несколькими различными окружностями, а затем усредните результаты. Ваши измерения не будут совершенными для одной взятой окружности, но с учетом нескольких окружностей, они должны усредниться до точного значения Пи. Реклама

Метод 2 из 5:

Вычисление Пи с помощью бесконечного числового ряда

  1. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/b/b7/Calculate-Pi-Step-6-Version-2.jpg/v4-460px-Calculate-Pi-Step-6-Version-2.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/b/b7/Calculate-Pi-Step-6-Version-2.jpg/v4-728px-Calculate-Pi-Step-6-Version-2.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 1 Используйте ряд Лейбница. Математики нашли несколько различных бесконечных рядов, которые позволяют точно вычислить Пи до большого количества знаков после запятой. Некоторые из них настолько сложны, что требуются суперкомпьютеры для обработки. Однако одним из простейших рядов является ряд Лейбница. Хотя он и не самый эффективный, с каждой итерацией он будет давать более точное значение Пи; после 500 000 итераций ряд Лейбница даст точное значение Пи с десятью знаками после запятой.[4]XИсточник информации Here is the formula to apply.
    • π = (4/1) — (4/3) + (4/5) — (4/7) + (4/9) — (4/11) + (4/13) — (4/15) …
    • Возьмите 4/1 и вычтите 4/3. Затем прибавьте 4/5. Затем вычтите 4/7. Продолжайте, чередуя сложение и вычитание дробей с 4 в числителе и каждым последующим нечетным числом в знаменателе. Чем больше раз вы это сделаете, тем более точное значение Пи вы получите.
  2. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/f/f9/Calculate-Pi-Step-7-Version-2.jpg/v4-460px-Calculate-Pi-Step-7-Version-2.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/f/f9/Calculate-Pi-Step-7-Version-2.jpg/v4-728px-Calculate-Pi-Step-7-Version-2.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 2 Попробуйте ряд Нилаканта. Это еще один бесконечный ряд для вычисления Пи, который довольно легко понять. Этот ряд более сложный, чем ряд Лейбница, но он дает точное значение Пи гораздо быстрее.[5]XИсточник информации
    • π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) — (4/(12*13*14) …
    • Для этого ряда запишите число 3 и чередуйте сложение и вычитание дробей с числом 4 в числителе и произведением трех последовательных целых чисел, которые увеличиваются с каждой новой итерацией, в знаменателе. Каждое последующее произведение начинается с наибольшего числа, используемого в предыдущем произведении. Проделайте это всего несколько раз и вы получите довольно точное значение Пи.

    Реклама

Метод 3 из 5:

Вычисление Пи методом иглы Буффона

  1. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/f/f3/Calculate-Pi-Step-8-Version-2.jpg/v4-460px-Calculate-Pi-Step-8-Version-2.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/f/f3/Calculate-Pi-Step-8-Version-2.jpg/v4-728px-Calculate-Pi-Step-8-Version-2.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 1 Проведите эксперимент. Оказывается, Пи можно найти, проведя интересный эксперимент под названием метод иглы Буффона,[6]XИсточник информации который стремится определить вероятность того, что случайно брошенные иглы приземлятся либо между нарисованными равноудаленными параллельными прямыми, либо пересекут ровно одну прямую. Если расстояние между прямыми равно длине иглы, то отношение числа бросков, когда игла пересекает прямую, к общему числу бросков стремится к 2/Пи. Также можете попробовать провести эксперимент с хот-догами (перейдите по ссылке в начале шага).
    • Ученые и математики не могут определить точный способ вычисления Пи, так как они не могут найти настолько тонкий предмет, чтобы вычисления были точными.[7]XИсточник информации

Метод 4 из 5:

Вычисление Пи с использованием предела

  1. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/3/36/Calculate-Pi-Step-9.jpg/v4-460px-Calculate-Pi-Step-9.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/3/36/Calculate-Pi-Step-9.jpg/v4-728px-Calculate-Pi-Step-9.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 1 Сначала выберите большое число. Чем больше это число, тем точнее будет результат.
  2. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/0/0a/Calculate-Pi-Step-10.jpg/v4-460px-Calculate-Pi-Step-10.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/0/0a/Calculate-Pi-Step-10.jpg/v4-728px-Calculate-Pi-Step-10.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 2 Затем подставьте это число (обозначим его х) в формулу для расчета Пи:x * sin(180 / x)’. Чтобы этот метод сработал, калькулятор нужно включить в режиме «Градусы». Мы говорим, что в этом методе используется предел, так как результат ограничен числом Пи (то есть значение Пи является предельно возможным). Чем больше значение х, тем точнее вы рассчитаете Пи. Реклама

Метод 5 из 5:

Функция арксинус

  1. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/4/4f/Calculate-Pi-Step-11.jpg/v4-460px-Calculate-Pi-Step-11.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/4/4f/Calculate-Pi-Step-11.jpg/v4-728px-Calculate-Pi-Step-11.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 1 Выберите любое число от -1 до 1. Функция y=arcsin(x) не имеет таких значений x, больших 1 и меньших -1, которым можно было бы сопоставить хоть какое-нибудь значение y (неважно — бесконечное или нет). Это означает, что функция y=arcsin(x) определена только на интервале от x=-1 до x=1 включительно и не определена при любых других x.
  2. {«smallUrl»:»https://www.wikihow.com/images_en/thumb/f/fb/Calculate-Pi-Step-12.jpg/v4-460px-Calculate-Pi-Step-12.jpg»,»bigUrl»:»https://www.wikihow.com/images/thumb/f/fb/Calculate-Pi-Step-12.jpg/v4-728px-Calculate-Pi-Step-12.jpg»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:345,»bigWidth»:728,»bigHeight»:546,»licensing»:»</div>»} 2 Подставьте свое число в следующую формулу и вы сможете вычислить число Пи.
    • Пи = 2 * (Arcsin (SQRT (1 — х ^ 2))) + ABS (Arcsin (х)).
      • Значение арксинуса будет представлено в радианах.
      • Sqrt — это квадратный корень.
      • Abs — это абсолютное значение числа
      • х ^ 2 — в данном случае это х в квадрате.

    Реклама

Советы

  • Расчет Пи — увлекательное и интересное занятие, но вычисление многих знаков после запятой не имеет большого смысла. Астрофизики утверждают, что значения Пи с 39 знаками после запятой достаточно для космологических расчетов, которые проводятся с точностью до размеров атома.

Реклама

Источники

Реклама

Современный уклад жизни требует постоянной динамики. Производя расчеты на калькуляторе, мы заметно экономим свое время, не рискуем в чем-то ошибиться и получаем точный результат. Благодаря изобретению данного устройства, многие люди забыли что такое недостачи и погрешности в расчетах. Однако калькулятор калькулятору рознь, и если примитивные вычислительные функции можно сделать на математической модели, то сложнейшие расчеты возможно совершить только при помощи инженерной. Отныне приобретать данное чудо современной техники не нужно – достаточно обратиться за помощью к нашему инженерному калькулятору онлайн! Программа работает без дополнительной установки – достаточно зайти на электронную страницу и начать действовать.

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics Перейти к: навигация, поиск

Цель[править]

Оценить число π при помощи знакочередующегося ряда Лейбница двумя способами: суммированием и интегрированием. Разработать программу для параллельных вычислений. Оценить скорость вычислений в зависимости от количества задействованных процессоров.

Постановка задачи[править]

Лейбниц доказал, что ряд

[math]1-frac{1}{3}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+frac{1}{13}-cdotcdotcdot=sum^{infty}_{n=1} {frac{(-1)^{n}}{2n+1}}[/math]

равен

[math]frac{pi}{4}[/math].

Также данный ряд можно получить разложением арктангенса 1 в ряд Тейлора, что даёт нам возможность оценить число π вычислением определённого интеграла

[math]intlimits_0^1 frac{1}{1+x^{2}},dx = frac{pi}{4}[/math]

Предлагаемое решение[править]

Суммированием элементов ряда[править]

После объявления переменных и инициализации MPI запускается счётчик времени. Предлагается при фиксированном количестве элементов ряда n считать элементы последовательно каждым процессором, «перепрыгивая» через количество процессов, занятых в расчёте. Начальный рассчитываемый номер ряда определяется порядковым номером процесса. Рассчитанный элемент добавляется к сумме внутри процесса. После окончания расчёта предварительные суммы «скидываются» в нулевой процесс и суммируются между собой. Таймер останавливается. Происходит вычисление ошибки по эталонному значению числа π и вывод информации о расчёте.

Численным вычислением определённого интеграла[править]

Численное вычисление интеграла предлагается проводить методом прямоугольников. Сам же процесс будет аналогичен решению суммированием элементов ряда.

Листинг программ[править]

Для суммирования ряда[править]

#include "stdafx.h" #include #include "mpi.h" #include #include using namespace std; #define Iterations 10000000 //количество итераций

int main() {

int ProcNum, ProcRank, i;

double x, MyPi = 0;

double Sum = 0;

double TotalTime;

clock_t StartClock, EndClock; // объявляем стартовую и конечную переменную таймера и инициализируем стартовую переменную

StartClock = clock();

MPI_Init(NULL, NULL); // инициализируем MPI

MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &ProcNum); // записываем количество процессов с переменную ProcNum

MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &ProcRank); // записываем номер процесса в переменную ProcRank

for (i = ProcRank; i < Iterations; i += ProcNum)

{

x = pow(-1,ProcRank)*4/(2*i + 1);

Sum += x;

}

MPI_Reduce(&Sum, &MyPi, 1, MPI_DOUBLE, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD); // пердварительные суммы Sum в переменную MyPi

MPI_Finalize(); // завершаем работу MPI

if (ProcRank == 0)

{

EndClock = clock(); // останавливаем таймер и переходим к выводу результатов на экран

printf(«Number of iterations = %in», Iterations);

printf(«Obtained value of Pi = %3.20fn», MyPi);

double pi = 3.1415926535897932384626433832795;

printf(«Refrence value of Pi = %3.20fn», pi);

printf(«Error = %3.20fn», abs(MyPi — pi));

TotalTime = (double)(EndClock — StartClock) / CLOCKS_PER_SEC;

printf(«Computing time = %f secn», TotalTime);

} }

Для вычисления интеграла[править]

#include "stdafx.h" #include #include "mpi.h" #include #include using namespace std; #define Iterations 10000000 //количество итераций

int main() {

int ProcNum, ProcRank, i;

double x, MyPi = 0;

double Sum = 0;

double TotalTime;

clock_t StartClock, EndClock; // объявляем стартовую и конечную переменную таймера и инициализируем стартовую переменную

StartClock = clock();

MPI_Init(NULL, NULL); // инициализируем MPI

MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &ProcNum); // записываем количество процессов с переменную ProcNum

MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &ProcRank); // записываем номер процесса в переменную ProcRank

double h = 1.0 / Iterations;

for (i = ProcRank; i < Iterations; i += ProcNum) // вычисляем численно интеграл по методу прямоугольников

{

x = (i + 0.5) * h;

Sum += 4.0 / (1 + x*x); // (после общего суммирования надо будет разделить на количество итераций)

}

MPI_Reduce(&Sum, &MyPi, 1, MPI_DOUBLE, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD); // пердварительные суммы Sum в переменную MyPi

MPI_Finalize(); // завершаем работу MPI

if (ProcRank == 0)

{

MyPi *= h; //делим сумму на количество итераций

EndClock = clock(); // останавливаем таймер и переходим к выводу результатов на экран

printf(«Number of iterations = %in», Iterations);

printf(«Obtained value of Pi = %3.20fn», MyPi);

double pi = 3.1415926535897932384626433832795;

printf(«Refrence value of Pi = %3.20fn», pi);

printf(«Error = %3.20fn», abs(MyPi — pi));

TotalTime = (double)(EndClock — StartClock) / CLOCKS_PER_SEC;

printf(«Computing time = %f secn», TotalTime);

} }

Компьютерная реализация[править]

Оценка числа π

Результаты (при 10млн итераций)[править]

Для суммирования ряда[править]

Количество процессов Ошибка вычисления Время расчёта (сек)
1 33.02161870037517132914 1.757
2 0.00000010000398731336 0.979
3 10.37762764928963399313 0.750
4 0.00000009999904815317 0.727

Для интегрирования[править]

Количество процессов Ошибка вычисления Время расчёта (сек)
1 0.00000000000006217249 0.246
2 0.00000000000019184654 0.144
3 0.00000000000011946000 0.128
4 0.00000000000010702550 0.112

Выводы[править]

  • При увеличении количества процессов сокращается время выполнения программы, но относительный выигрыш по времени уменьшается.
  • Интегрирование при одинаковом количестве итераций даёт более точный результат, а так же результат интегрирующей программы не зависит от количества процессов (при запуске программы с чётным количеством процессов появляется ошибка больше 100%).
  • Ошибка вычисления при интегрировании связана с ограниченным количеством символов типа double; ошибка вычисления при суммировании может быть уменьшена увеличением количества элементов ряда.

Опубликовано вкл 28.03.2012 — 13:00 Автор:  Филиппова Анастасия

В данной работе описаны практические способы вычисления значения числа Пи.

Скачать:

Вложение Размер
imagemou_chislo_pi_1.docx 777.71 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное казённое образовательное учреждение

 « Южно – Подольская средняя общеобразовательная школа »

научное общество учащихся  « Поиск»

Секция: математика

Выполнила: Филиппова Анастасия,

ученица 5класса,

МКОУ « Южно-Подольская СОШ».  

Учитель: Москавчук О.А.,

 учитель математики.

Черлак- 2012год

Содержание:                                                   стр

Введение        ……………………………………………  3

Вычисление значения числа П   ………………………. 4-7

     Из истории открытия  ……………………………   4

Способы вычисления числа П………………………   5-6

Число П в стихах …………………………………….   7

Исследование.

    Простейшее измерение ……………………………   8

Измерение с помощью  взвешивания……………… … 8

Заключение  ……………………………………………… 9

Список литературы.…………………………………. …..10

Приложения   ………………………………………… …..11-12

Введение

Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра.

  В учебнике геометрии  сказано, что число Пи является бесконечной  непериодической десятичной дробью. Рациональное  число image

Как нарисовать портрет?

image

Сорняки

image

Самый главный и трудный вопрос

image

Колумбово яйцо

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий