Алгебра 7-9 классы. 11. Способы решения систем линейных уравнений – Всё для чайников

  • Автор

    Лидия Казанцева

  • Рубрика

    8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

  • Дата публикации

    03.08.2020

  • Просмотры

    27769

Каникулы со смыслом в Skysmart для детей 4-17 лет

Смотреть летние курсы →

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и является верным числовым равенством.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0: 

  1. Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при

ax₁ + by + c = 0.

  1. Дать 𝑥 другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
  2. Построить на координатной плоскости xOy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
  3. Проводим прямую через эти две точки и вуаля — график готов. 

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это дело вот так:

Из первого ЛУ a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

1. Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

2. Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

3. Решить полученное, найти одну из переменных.

4. Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

1. Приравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.

2. Сложить или вычесть уравнения.

3. Решить полученное с одной переменной.

3. Подставить поочередно каждый из найденных корней в одно из уравнений исходной системы. Найти второе неизвестное.

Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Системы ЛУ с двумя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

  • ax + by + cz = d

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Разберем примеры решения систем уравнений.

5x – 8y = 4x – 9y + 3

Как решаем:

 

  1. 5x – 8y = 4x – 9y + 3
  2. 5x – 8y – 4x + 9y = 3
  3. x + y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Как решаем:

  1. Выразить у из первого:
  1. Подставить полученное выражение во второе:
  2. Найти соответствующие значения у:

Ответ: (2; -1), (-1; 2).

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

Как решаем:

  1. Решение систем линейных уравнений начинается в внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
  1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
  1. Найти у, подставив найденное значение в любое место:
  1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Как решаем:

Ответ: (2; 4); (5; 13).

Как решаем:

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Ответ: (-4; 2); (4; 2).

Бесплатный вводный урок Шаг 1 из 2. Данные ученика

Методы решения систем уравнения. Разберем два вида решения систем уравнения:

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму: 1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную. 2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение. 3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно: 1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты. 2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной. 3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение. __6x-4y=2    6x-9y=-30 -4y+9y=2+30

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

  x – 4y = 2
3x – 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

  x – 4y = 2
3x – 2y = 16

Сначала найдём, чему равен  x  в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное  x,  в правую часть:

x – 4y = 2;

x = 2 + 4y.

Так как  x,  на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x – 2y = 16;
3(2 + 4y) – 2y = 16.

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен  y.  Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) – 2y = 16;
6 + 12y – 2y = 16;
6 + 10y = 16;
10y = 16 – 6;
10y = 10;
 y = 10 : 10;
 y = 1.

Мы определили что  y = 1.  Теперь, для нахождения численного значения  x,  подставим значение  y  в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен  x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

  x – 4y = 2
3x – 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен  y  (можно сделать и наоборот — найти, чему равен  x):

x – 4y = 2 3x – 2y = 16
-4y = 2 – x -2y = 16 – 3x
y = (2 – x) : – 4       y = (16 – 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

2 – x  =  16 – 3x
-4 -2

Решаем уравнение, чтобы узнать значение  x:

2 – x  · (-4) =  16 – 3x  · (-4)
-4 -2
2 – x = 32 – 6x
x + 6x = 32 – 2
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6

Теперь подставляем значение  x  в первое или второе уравнение системы и находим значение  y:

x – 4y = 2 3x – 2y = 16
6 – 4y = 2 3 · 6 – 2y = 16
-4y = 2 – 6       -2y = 16 – 18
-4y = -4 -2y = -2
 y = 1  y = 1

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

  x – 4y = 2
3x – 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x – 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

Получим:

  x – 4y = 2
-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+ x  –  4y = 2
 -6x + 4y = -32
 -5x         = -30

Находим значение  x  (x = 6).  Теперь, подставив значение  x  в любое уравнение системы, найдём  y = 1.

Если уравнять коэффициенты у  x,  то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном  x,  умножив все члены первого уравнения на  3:

(x – 4y) · 3 = 2 · 3

3x – 12y = 6

Получим:

  3x – 12y = 6
3x – 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

3x  –  12y = 6
  3x  –   2y = 16
          -10y = -10

Находим значение  y  (y = 1).  Теперь, подставив значение  y  в любое уравнение системы, найдём  x = 6:

3x – 2y = 16
3x – 2 · 1 = 16
3x – 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x = 18 : 3
x = 6

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Алгебра 7-9 классы. 11. Способы решения систем линейных уравнений

Подробности
Категория: Алгебра 7-9 классы

 СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ

Выразим из первого уравнения у через х:

Подставив во второе уравнение вместо у выражение , получим систему:

Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.Пусть некоторая пара значений х и у является решением системы (1). При этих значениях х и у уравнение обращается в верное равенство. Заменив в нем значение у равным ему значением выражения , мы снова получим верное равенство. Значит, каждое решение системы (1) является решением системы (2).Аналогично доказывается, что каждое решение системы (2) является решением системы (1).Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения. Такие системы называются равносильными.В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:

Соответствующее значение у можно найти, подставив вместо х число 1 в первое уравнение системы (1). Удобнее, однако, воспользоваться формулой

Пара (1; 4) — решение системы (1).Способ, с помощью которого мы решили систему (1), называют способом подстановки. При решении этим способом сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответствующее значение второй переменной.На рисунке 66 построены графики уравнений и . Они пересекаются в точке (1; 4). Через эту точку проходит и график уравнения т. е. прямая х = 1. Мы видим, что системы (1) и (2) имеют одно и то же решение.

Покажем применение способа подстановки еще на одном примере. Решим систему:

Выразим из второго уравнения х через у:

Подставим в первое уравнение вместо х выражение

Решим полученное уравнение с одной переменной у:

Подставим в уравнение вместо у число 4,5:

Ответ: х=—3, у = 4,5.

 СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим еще один способ решения систем уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.Пример 1. Решим систему:

 В уравнениях системы коэффициенты при у — противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнения, получим уравнение с одной переменной:

Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением . Получим систему:

Решим систему (2). Из уравнения находим, что . Подставив это значение х в уравнение , получим уравнение с переменной у:Решим это уравнение:

Пара (11; —9) — решение системы (2). Она является также решением системы (1), так как системы (1) и (2) равносильны. В этом можно убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были проведены в предыдущем пункте при решении систем способом подстановки.На рисунке 67 изображены графики уравнений 2x + 3у =  — 5 и х — Зу = 38.

График уравнения , т. е. прямая , проходит через точку их пересечения. Из рисунка видно, что система (2) имеет то же решение, что и система (1).

Пример 2. Решим систему:

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Однако если умножить все члены первого уравнения на — 2, а второе уравнение оставить без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Теперь почленное сложение приведет к уравнению с одной переменной . Из этого уравнения находим, что . Подставив во второе уравнение вместо у число —2, найдем значение х:

Ответ: х = 6, у= — 2.

Пример 3. Решим систему

Подберем множители к уравнениям так, чтобы коэффициенты при у стали противоположными числами. С этой целью умножим каждый член первого уравнения на 3, а второго на 7. Получим систему:

Сложив уравнения почленно, получим:

Отсюда

Подставив это значение х в уравнение , найдем, что у = 19.Ответ: х=—14, у —19.

imageСайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.2013-10-0808Окт 2013 Существует три способа решения систем линейных уравнений:Способ подстановкиСпособ сложенияГрафический способ.1.Способ подстановки удобно использовать в том случае, если в одном из уравнений системы коэффициент при одном из неизвестных равен 1. Тогда это неизвестное удобно выразить через другое.Решим систему:imageЗаметим, что в первом уравнении системы коэффициент при равен 1, поэтому мы легко можем выразить через :.Подставим это выражение для вместо переменной во второе уравнение системы:Решим это уравнение относительно :

.Теперь вспомним, что . Подставим в правую часть равенства вместо переменной ее значение и найдем значение :Внимание! При записи ответа на первом месте всегда указываем значение переменной , а на втором Ответ: (3;-2)2.Способ сложения более универсален, нежели способ подстановки.Решим систему:Мы имеем право умножать каждое уравнение системы на число и складывать уравнения. Воспользуемся этим правом.Нам нужно сделать так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных были равны по модулю, но противоположны по знаку. Тогда при  сложении уравнений это неизвестное пропадет.Сделаем так, чтобы, например, коэффициенты при были равны по модулю, но противоположны по знаку. Для этого нам нужно первое уравнение системы умножить на 3, а второе на 5. Получим систему:Сложим уравнения системы, получим, отсюда Теперь подставим это значение , например, в первое уравнение исходной системы:;;Ответ: (1;1)А теперь решим такую систему:Уравнения системы не являются линейными. Но мы можем сильно упростить себе жизнь, если введем замену переменной. Поэтому прежде чем решать эту систему, введем замену . Получим систему линейных уравнений:Мы можем решать эту систему как способом подстановки (коэффициент при в первом уравнении равен 1, а при -1), так и способом сложения.Решим способом сложения. Умножим первое уравнение на -2, тогда коэффициенты при будут равны по модулю, но противоположны по знаку.Сложим уравнения. Получим:; Подставим это значение в первое уравнение исходной системы: ; Итак, Вернемся к исходной переменной:отсюда Ответ: 3.Графический способ.Чтобы решить систему линейных уравнений графическим способом, нужнов каждом уравнении выразить построить графики соответствующих функцийнайти координаты точки пересечения графиков.Решим систему1. В каждом уравнении выразим :2. Построим графики этих функций: Координаты точки пересечения графиков (2;1)Ответ: (2;1)И.В. Фельдман, репетитор по математике Для вас другие записи этой рубрики: Инна | Отзывов нет

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий